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Thème 1 : Eléments de probabilités

D 26 avril 2012    

Introduction aux probabilités et aux statistiques : De la pratique aux modèles généraux, / Conditionnement, fusion d’information, dynamique et filtrage (par Manuel Samuelides)


Introduction aux probabilités et aux statistiques : De la pratique aux modèles généraux, par Manuel Samuelides professeur à l’ISAE.

A partir des connaissances élémentaires de probabilité (lois dicrètes provenant de la combinatoire) et de statistique (moyenne, variance, droite des moindres carrés), on fait le lien entre toutes ces méthodes en introduisant le modèle de l’espace d’état de Kolmogorov (1933) qui fait apparaître les variables aléatoires comme des fonctions d’état.
Les principaux modèles sont alors développés dans une perspective applicative (Binomial, Poisson et files d’attente, Gaussien) avant de faire le lien avec les statistiques en énonçant la loi des grands nombres et le théorème central-limite.
Les propriétés des estimateurs statistiques sont rapidement passées en revue.

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Conditionnement, fusion d’information, dynamique et filtrage, par Manuel Samuelides professeur à l’ISAE

Le conditionnement est naturel, le principe de multiplication précède le principe d’addition à l’origine du calcul des probabilités (Pascal, Bayes). Il s’agit de modifier le modèle probabiliste initial pour tenir compte de nouvelles informations (fusion d’information). Ce principe prend évidemment beaucoup plus d’importance lors de l’étude de phénomènes dynamiques.
Sa modélisation est plus complexe et a la forme d’une application des informations dans l’espace des probabilités sur l’espace d’états ou de trajectoires. Cette application est une projection (les nouvelles informations restreignent l’ensemble des possibilités) qui coïncide avec la régression linéaire dans le cas du modèle gaussien.
Deux applications fondamentales sont présentées qui peuvent être mises à la portée des étudiants de classes préparatoires. Les chaînes de Markov dans le cas d’un espace d’états fini ont leur comportement gouverné par une matrice positive dont la diagonalisation détermine l’état stationnaire. Les processus gaussiens sont complètement définis par leur moyenne et leur covariance dont l’analyse relève de l’algèbre linéaire. Ils sont particulièrement importants en physique (densité spectrale de puissance) et en sciences de l’ingénieur (filtre de Kalman) et peuvent donc donner lieu à des applications concrètes.

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